Talföljder och serier

En talföljd (följd, progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal, vanligen betecknad med hjälp av index som

Definitioner

Talen kallas talföljdens element. Talföljden kan betraktas som en funktion f från de positiva heltalen till alla tal, .

En talföljd kan betecknas Ofta används den kortare beteckningen .

Notera att talen i följden inte behöver ha olika värden. Ett exempel på detta är talföljden vilket ger talföljden .

Att beskriva en talföljd

Talföljden kan anges med en explicit formel, till exempel

.

Den kan också anges genom en rekursionsformel, där varje element uttrycks med hjälp av det föregående elementet , tillsammans med startvärdet, till exempel

Typer

En talföljd kallas

• växande om för alla n

och strängt växande om för alla n

• avtagande om för alla n

och strängt avtagande om för alla n

• monoton om den är antingen växande eller avtagande,
• oändlig om n kan anta hur stora värden som helst,
• begränsad upptill om det finns ett tal M sådant att för alla n
• begränsad nedtill om d

  Aritmetisk följd

  En aritmetisk följd är en talföljd som är sådan att differensen mellan två intilliggande element är konstant. Om följden summeras erhålls en aritmetisk summa.

  Allmänna regeln för alla aritmetiska talföljder

  För att beräkna det n:te elementet i talföljden kan man använda följande samband mellan

  det n:te elementet ( a_n ) och

  det första elementet ( a₁ ) samt

  differensen ( d ) mellan två intilliggande element, dvs mellan två på varandra följande tal.

  Exempel på en aritmetisk talföljd

  Differensen mellan två intilliggande element är konstant, lika med 2:

  och så vidare.

  
  Med hjälp av den allmänna regeln för alla aritmetiska talföljder kan vi nu beskriva vår egen talföljd. Vi har talföljden:

  
  1) Först ska vi ta reda på vad det första elementet är, även kallat starttalet.

  Vi ser att starttalet är 3.

  2) Sedan ska vi ta reda på vad differensen är.

  Vi räknar ut att differensen mellan två intilliggande tal hela tiden är 2.

  3) Nu kan vi beskriva vår egen talföljd med hjälp av

  den allmänna regeln för alla aritmetiska talföljder.

  Den aritmetiska

  Gästbok

  Matematik minimum - Terminologi En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö      Klicka på någon av bokstäverna

  Nedladdning

  Talföljder - Serier

  Serier

  Talföljd

  En talföljd (följd) (en sekvens, en progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal.
  Talföljd kallas även serie i äldre litteratur.

  En allmän talföljd kan skrivas a₁, a₂, a₃, a₄, … där a₁ står för första element, a₂ står för andra element osv.
  Elementen a_n är den n:te element.

  a₁,  a₂,  a₃,  …  a_n-1,  a_n, a_n+1,  …

  Talen a (a_n) kallas talföljdens element eller talföljdens term.

  Talföljd

  Talföljder

  I det här kapitlet kommer vi att lära oss om talföljder och även hur vi med hjälp av så kallade induktionsbevis kan bevisa påståenden som gäller för talföljder och summor.

  Inledningsvis kommer vi i det här avsnittet att repetera hur talföljder fungerar och hur vi kan beskriva vissa typer av talföljder. Därefter kommer vi i nästa avsnitt att lära oss mer om rekursion, vilket är ett sätt att successivt beräkna talen i en talföljd utifrån de tal som redan är kända.

  Talföljder

  I Matte 1-kursen stötte vi på två typer av talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder.

  Allmänt gäller att en talföljd är en uppräkning av tal i en viss ordning. De tal som ingår i en talföljd kallas element.

  Här nedan är två exempel på talföljder, där den första är en aritmetisk talföljd och den andra är en geometrisk talföljd:

  $$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,$$

  och

  $$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,$$

  I de båda exemplen ovan finns det ett mönster som gör att vi kan förutse och beräkna värdet på elementen i talföljden, men det finns även talföljder där värdena på elementen inte följer något mönster. Om värdena på elementen i talföljden följer ett visst mönster och

  .