Räkna med potenser
Lösningsförslag:
a)
Eftersom de båda faktorerna har samma bas, 3, använder vi räkneregeln för multiplikation av potenser.
$$ {3}^{3}\cdot{3}^{2}={3}^{3+2}={3}^{5}$$
b)
I det här fallet har vi tre faktorer, men vi kan ändå använda räkneregeln för multiplikation av potenser, om vi beräknar produkten i två steg. Kom också ihåg att 10 är samma sak som 101.
$${10}^{2}\cdot{10}^{5}\cdot10=$$
$$= {10}^{2+5}\cdot10=$$
$$={10}^{7}\cdot10=$$
$$={10}^{7+1}= $$
$$={10}^{8}$$
Division med potenser
Även när vi dividerar potenser finns det räkneregler som gör det enklare för oss att räkna när potenserna har samma bas.
Vi ska börja med att titta på ett exempel med en kvot där täljaren och nämnaren är potenser med basen
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}$$
På samma sätt som vi visade vad gäller multiplikation, kan vi beräkna det här uttrycket genom att skriva potenserna som produkter av ett antal faktorer, så här:
$$ \frac{{10}^{6}}{{10}^{3}}=\frac{10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10}{10\cdot10\cdot10}$$
Hur ska vi nu gå vidare? Jo, eftersom faktorn 10 förekommer tre gånger i produkterna i täljaren och nämnaren, kan vi förkorta täljaren och nämnaren m
Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter
Definisjonen av potenser og røtter gir oss følgende fine egenskaper ved potenser:
Teorem La a og b være reelle tall, og m og n naturlige tall. Da gjelder: | ||
1) 2) 3) 4) 5) |
Bevis for 1):
Fra definisjonen av potenser har vi at og dette gir oss at
Flere definisjoner og sammenhengen med røtter
Teoremet over gir en naturlig måte å utvide definisjonen av potenser slik at vi kan tillate andre tall enn bare de naturlige tallene som eksponenter. Vi kan for eksempel spørre oss: Hvis det var noe som het , hva skulle dette være for noe? La oss anta at regnereglene i teoremet fortsatt gjelder når . Da får vi, ved å sette i punkt 1), at
Deler vi på på begge sider, står vi igjen med .
På samme måte kan vi undersøke hva opphøyd i et negativt heltall skulle være,ved å bruke punkt 2): Setter vi her, får vi at
Dersom vi holder fast på at , betyr dette altså .
Til slutt ser vi på uttrykket , der . Hvis noe slikt skal gi mening og samtidig respektere teoremet, gir punkt 3) at vi må ha
Men dette vil si at tilfredsstiller likningen i definisjonen av m-te-roten av ! Motivert av
Potenser och grundpotensform
I det här avsnittet ska vi repetera hur potenser fungerar, hur vi skriver tal i tiopotensform och i grundpotensform.
I senare avsnitt ska vi därefter gå vidare och lära oss några av de räkneregler som gäller för potenser, och även hur vi kan skriva små tal som potenser.
Skriva tal som potenser
Om vi har en upprepad multiplikation, då kan vi skriva den som en potens. Till exempel kan vi skriva följande produkt
$$ 3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$
som en potens, så här:
$$ {3}^{4}=81$$
Ett tal skrivet som en potens är uppbyggt så här:
$$ {bas}^{exponent}$$
Detta innebär att basen ska multipliceras med sig självt och att det antal gånger som basen ska multipliceras står i exponenten.
Skriv produkten som en potens
$$ a)\,\,2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 $$
$$ b)\,\,(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)\cdot(-4) $$
$$ c)\,\,x\cdot x\cdot x$$
Lösningsförslag:
a)
Talet 2 ska multipliceras med sig självt och det ska multipliceras 6 gånger. Det innebär att vi kan skriva produkten som en potens med basen 2 och exponenten 6:
$$ 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^6$$
b)
I det här fallet har vi talet -4 som ska multipliceras med sig självt och det ska mu
Potenser
Potenser kallas allmänt när man räknar för “upphöjt till“. Potenser och potenslagarna är mycket användbara sätt att uttrycka matematik som annars skulle bli mycket besvärlig att läsa och skriva. Man kan säga att potenser är för multiplikationen, vad multiplikationen är för additionen. Det vill säga, multiplikation kan ses som upprepad addition, och på samma sätt kan potensräkning ses som en förkortning för upprepad multiplikation. I fysiken förekommer det ofta på grund av att det är extrema storleksskillnader mellan volymen på ett äpple och en planet. I matematiken brukar vi inte blanda äpplen och planeter, men vi behöver ändå ofta räkna med stora tal, och stora multiplikationer, vilket snabbt blir mycket otympligt om man inte behärskar potensräkning.
Tidigare har vi som hastigast stött på begreppet potenser, då vi lärde oss om räkneordning. I det här avsnittet ska vi gå igenom begreppet potenser och de räknelagar som vi använder när vi räknar med potenser.
Potens, bas och exponent
Ibland kan man ha matematiska uttryck där man upprepar samma matematiska räkneoperationer flera gånger om. I sådana lägen kan det vara bra att kunna skriva detta på ett mer kompa
.